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调和级数为什么发散(广义调和级数发散)

时间：2022-07-18 12:31:42 来源：[db:来源]

堆砖问题（block-stacking problem）提出

将N块一致、刚性、完美的长方体形砖以某种方式稳定叠放在桌子上，同时最大限度地延伸出桌子边缘。

如下图以N=3为例，堆砖问题为通过某种堆叠方式，确保长度S(3)取得最大值。

堆砖问题求解

堆砖问题本质上是一道物理题。要稳定堆叠砖块，需要各块砖都能够保持稳定状态，即各块砖的重力引起的保持平衡。

令砖的长度为2。

当N=1时堆砖方法为一半突出桌子边缘，也即桌子重心在桌子边缘上，此时重力引起的力矩为零。此时堆砖问题解为：S(1)=1。

一块砖情况

当N=2时，在N=1的基础上，在第一块砖与桌面之间插入第二块砖。第一块伸出长度保持不变。第二块砖要保持平衡，第一块砖对第二块砖施加的力矩与第二块砖自身力矩之和保持为零。如此计算得到：

代入参数得：

解得

两块砖情况

当N=3时，在N=2的基础上，在第二块砖与桌面之间插入第三块砖。第一块砖与第二块砖的伸出长度保持不变，故前两块砖的平衡性保持不变。

三块砖情况

第三块砖要保持平衡，就得前两块砖施加的转动矩与自身的转动矩之和为零，也即

代入相关参数，得到

解得

这个时候，我们能看出规律来了，即

第n块砖能够伸出的最大长度

这个规律是不是普遍成立的呢？下面我们用归纳法来验证一下。假定以及按上述规律摆放了N块砖，我们来考察一下N 1砖的情况。此时在N块砖的基础上，在前N块砖与桌面之间插入第N 1块砖。前N块砖的伸出长度与n=N时的情况保持不变。我们下面求第N 1块砖的伸出长度。同样的道理，对第N 1块砖而言，前N块的施加的转动矩与自身的转动矩保持不变，也即

代入相关参数，得到

解得

即当n=N 1时也成立，也即第n块砖伸出的最大长度为n分之一。

从N块砖到N 1块砖情况变化

有趣的结论

通过上述分析，我们发现，如果有N块砖，第一块伸出长度是1，第二块砖的伸出长度是二分之一，第三块砖的伸出长度是三分之一，以此类推，第N块砖的伸出长度是N分之一。

那么N块砖的伸出长度之和正好是一个调和数，也即

巧不巧？居然与调和级数扯上关系！！！

那么当N趋向无穷大时，调和数变成了调和级数，而调和级数是发散的。故我们知道，当N趋于无穷大时，所有砖块伸出长度之和趋于无穷大。

世界上最遥远的距离

泰戈尔

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不是生与死的距离

而是我站在你面前，你却不知道我爱你

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不是我站在你面前，你不知道我爱你

而是爱你爱到痴迷，却不能说我爱你

世界上最遥远的距离

不是我不能说我爱你

而是想你痛彻心脾，却只能深埋心底

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不是我不能说我想你

而是彼此相爱，却不能在一起

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不是彼此相爱，却不能在一起

而是明明无法抵挡这一股气息，却还得装做毫不在意

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不是明明无法抵挡这一股气息，却还装做毫不在意

而是你用一颗冷漠的心，在你和爱你的人之间，掘了一条无法跨越的沟渠

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不是树与树的距离

而是同根生长的树枝，却无法在风中相依

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不是树枝无法相依

而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹

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不是星星之间的轨迹

而是纵然轨迹交汇，却在瞬间无处寻觅

世界上最遥远的距离

不是瞬间便无处寻觅

而是尚未相遇，便注定无法相聚

世界上最遥远的距离

是飞鸟与鱼的距离

一个翱翔天际，一个却深潜海底


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