数学历史故事(数学史上有趣的小故事)

他自己说“在12岁时，我……在欧几里得平面几何小书经历了第二次奇迹……”对欧几里得神往的不只是爱因斯坦，大哲学家罗素在他的《自传》第一卷中也谈到，在1112岁时，心情十分抑郁，甚至想到自杀，但学习欧几里得几何的狂喜使他从这种境地摆脱了出来。接着爱因斯坦说，“在1216岁时，我自学包括微积分基础在内的数学基本知识……”这两件事说明，他对数学有着一定的兴趣、感悟和能力。他学好数学乃至成为一位数学家不成问题。而且，他在1896年10月进入瑞士苏黎世联邦技术大学之后，更是有可能在这个培养数学家的最好环境中成为数学家，至少掌握最前沿的数学知识。爱因斯坦没能够这样做，从某种意义上来讲，他错过了一次机会。

1900年左右，数学界发生了重要的思想变革，其领袖人物就是希尔伯特。而希尔伯特的思想来源，很大程度上是同比他年长3岁的胡尔维茨与比他年轻2岁的闵可夫斯基在格廷根大学期间经过8年的散步慢慢积累起来的。而爱因斯坦上学期间，胡尔维茨是教授，闵可夫斯基是副教授，他完全有机会亲自得到他们的口传心授。当时，爱因斯坦的同班同学只有4个人。但是，爱因斯坦对物理学的兴趣远远大于数学，加上他独立不羁的性格，经常逃课。他的表现用闵可夫斯基的话讲最为透彻:“爱因斯坦在学生时期是条懒狗。他一点也不为数学操心。”爱因斯坦的狭义相对论的确使闵可夫斯基大吃一惊，但是，真正认识到狭义相对论价值并且从哲学和数学上推进一大步的也正是闵可夫斯基。用爱因斯坦的话说，正是闵可夫斯基第一次把时间和空间联系在一起成为四维时空。另一个相关的发展则是群的观念，这对爱因斯坦当然是陌生的，只有在后来爱因斯坦才认识到这种数学的价值。

如果说，提出狭义相对论，爱因斯坦的知识还算够用的话，到广义相对论，爱因斯坦则捉襟见肘。他不得不求助于他的同学格罗斯曼。从黎曼开始发展的黎曼几何和张量分析仿佛是为广义相对论定做的工具，格罗斯曼正好是这方面的专家。不可否认，爱因斯坦学这一套数学颇为吃力。实际上，爱因斯坦的广义相对论大大推动了黎曼几何学的发展，另一方面数学家则依他们的习惯对广义相对论进行了推广，以致爱因斯坦有一次自嘲道:“自从数学家搞起相对论研究之后，我自己就不再懂它了。”也正是由于这个原因，在1915年出现了希尔伯特和爱因斯坦的“优先权之争”。

1915年11月25日爱因斯坦在柏林发表了他的场方程，而希尔伯特早几天也推导出来了。但是，两人之间并没有什么“争”。希尔伯特一直认为爱因斯坦是相对论的惟一创始人，正因为有了爱因斯坦的问题、理论和方法，才能在这个基础上得出场方程。希尔伯特显然在数学上十分擅长，他是从变分原理得出的。爱因斯坦则是通过另外的方法得出的。在这个问题上，物理的概念仍然是必不可少的基础。统一场论是爱因斯坦下一个目标，在这方面，数学家又显示出自己的优势。最早的尝试是大数学家外尔提出的。他首先提出了规范不变性的问题。但是，爱因斯坦从物理概念上批判外尔的理论。实际上从非欧几何出现之后，数学家已经飞跃到自由的王国，不再受现实的物理世界的束缚，而只关心数学的逻辑完整性。统一场论至今仍悬而未决，而在当时，还根本不可能了解另外两种相互作用:强相互作用和弱相互作用。爱因斯坦去世之后，这两种相互作用同电磁相互作用形成了“大统一理论”，其中外尔开创的规范理论的作用不可低估。而现在试图把引力包括进来的理论，基本上可以说是一种数学的理论。20世纪末，物理学与数学这一对离婚长达一个多世纪的欢喜冤家仿佛又在谈论复婚的问题。但是，这些新兴的数学似乎并不是爱因斯坦所乐于见到的。

广义相对论发展的另一个方向是宇宙学。无疑，爱因斯坦是现代宇宙学的奠基人，他的出发点仍是去解场方程。但是，场方程只给出局部的图像，而难以拼出整体图像。在宇宙形状或宇宙结构这个大问题上，人们的认识仿佛又回到哥伦布时代。哥伦布时代的主要问题头一个是拓扑问题，也就是地球表面是否是一个球面，是开的还是闭的。翻开过去的历史，就知道这个问题上主要有三种看法:地圆说、地平说，还有一种实际上无所谓。哥伦布第一步走对了，他相信地圆说。在这一步确定之后就可以走第二步了，哥伦布的度量少了1/3，这种有意无意的错误使他获得资助。在宇宙学上，我们又碰到同样的问题:先是拓扑的，后是度量的。这种区别首先是黎曼明确考虑到的，他区别几何图形的度量性质和非度量性质，而且还要明确局部性质与整体性质的不同，单纯由局部性质不太能判断整体性质，研究整体的拓扑性质需要另起炉灶，其结果是拓扑学。在对高斯、黎曼的内蕴几何学不熟悉的情形下，爱因斯坦采取一个更原始的方法，也就是把四维时空嵌入到五维中去，而这就造成新的麻烦。也许这是爱因斯坦晚期工作不太成功的另一种原因。

独立学者灵遁者整理提供。

下面为大家介绍一下相对论知识。

爱因斯坦场方程的推理过程和关于场方程新解的说明

本来原标题想写为《爱因斯坦场方程中没有光》，可后来改变了注意。可能很多人看到这个标题，会觉得奇怪，为什么说“爱因斯坦的场方程中没有光？”其实我要表达的是我们看时间，看宇宙的方式问题，角度问题。

就好比我在问：“假如爱因斯坦是瞎子，他还能建立相对论吗？他还能写出场方程公式吗？”

在我大脑中，似乎没有哪个瞎子可以成为科学家。我百度也没有找到这样一个人。

我在想我们看到了世界，是因为世界进入了我们的眼睛。倘若我们只能像瞎子一样，我们看到的世界会是怎么样的？

比如说像蝙蝠一样，视力差，靠超声波来定位，来认识这个世界。爱因斯坦的场方程里本身没有“光”这个概念，只是人类发明了“光”，光是一种电磁波，是我们现在知道了。

光延伸了我们看世界的尺度和客观性，所以“我们”很重要，因为是我们看世界。那么我们的意识就是一个不可避开的谜团。

太多太多的人说时间是不存在的，空间弯曲是不存在的，上帝是存在的等等。

这是哲学问题，我觉得自己的论述不会比马克思还好。所以我还是坚持物质决定意识。意识反作用于物质。

所以虽然场方程中确实没有光，但我们看见世界的方式不仅仅靠光。我们的认识是客观的，所有说时间，空间这些东西不存在的人，都没有了解到自己本身在宇宙中的存在。当你活着的时候，你与宇宙的一切行为均有同步意义。

为什么不能以人为“尺度”来度量宇宙呢？为什么说不靠谱呢？人本身就是宇宙中的一员，所以说不靠谱的人，其实是在否定自己。

爱氏的场方程中确实没有光，但人类看见了光，爱氏的场方程是可以靠的住的。今天我们就要再去看看，再去想象，爱氏的宇宙方程有哪些值得思考的地方。

· G_uv称为爱因斯坦张量。

· R_uv是从黎曼张量缩并而成的里奇张量，代表曲率项，表示空间弯曲程度。

· R是从里奇张量缩并而成的标量曲率(或里奇数量)

· g_uv是从(3 1)维时空的度量张量；

· T_uv是能量-动量-应力张量，表示了物质分布和运动状况。

· G是引力常数，

· c是真空中光速。

整个方程式的意义是：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）。

我们知道爱氏广义相对论性的模型建立的核心内容是爱因斯坦场方程的解。在爱因斯坦场方程和一个附加描述物质属性的方程（类似于麦克斯韦方程组和介质的本构方程）同时已知的前提下，爱因斯坦场方程的解包含有一个确定的半黎曼流形，以及一个在这个流形上定义好的物质场。

物质和时空几何一定满足爱因斯坦场方程，因此特别地物质的能量-动量张量的协变散度一定为零。当然，物质本身还需要满足描述其属性的附加方程。因此可以将爱因斯坦场方程的解简单理解为一个由广义相对论制约的宇宙模型，其内部的物质还同时满足附加的物理定律。

爱因斯坦场方程是一个二阶非线性的偏微分方程组，因此想要求得其精确解十分困难。尽管如此，仍有相当数量的精确解被求得，但仅有一些具有物理上的直接应用。

其中最著名的精确解，同时也是从物理角度来看最令人感兴趣的解包括史瓦西解、雷斯勒-诺斯特朗姆解、克尔解，每一个解都对应着特定类型的黑洞模型；以及弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克解和德西特宇宙，每一个解都对应着一个膨胀的宇宙模型。

纯粹理论上比较有趣的精确解还包括哥德尔宇宙（暗示了在弯曲时空中进行时间旅行的可能性）、Taub-NUT解（一种均匀却又各向异性的宇宙模型）、反德西特空间（近年来由于超弦理论中的马尔达西那假说的提出而变得知名）。

寻找爱因斯坦场方程的精确解并非易事，因此在更多场合下爱因斯坦场方程的解是通过计算机采用数值积分的方法，或者对精确解作微扰求得的近似解。

在数值相对论这一分支中，人们使用高性能的计算机来数值模拟时空几何，以用于数值求解两个黑洞碰撞等有趣场合下的爱因斯坦场方程。原则上只要计算机的运算能力足够强大，数值相对论的方法就可以应用到任何系统中，从而有可能对裸奇点等基础问题做出解答。另一种求得近似解的方法是借助于像线性化引力和后牛顿力学近似方法这样的微扰理论，这两种微扰方法都是由爱因斯坦发展的，其中后者为求解时空内分布的物体速度远小于光速时的时空几何提供了系统的方法。

后牛顿力学近似方法是一系列展开项，第一项对应着牛顿引力，而后面的微扰项对应着广义相对论理论对牛顿力学所作的修正。这种近似展开的一种扩展方法是参数化后牛顿形式，应用这种方法可以量化地比较广义相对论和其替代理论的预言结果。

为什么爱氏的场方程的解这么难解，而且解方程的时候往往要以特殊的情况下，才能有解。而且解还只有少部分能直接应用。大多都是数学游戏。在我看来，最重要是“非线性”三个字。

也就是非线性使得场方程下的真实宇宙变的不规则，不流畅，不规整。

非线性是导致数值解爱因斯坦场方程非常困难的根本原因。数值解非线性偏微分方程本身是个大问题。我的理解是非线性系统的解对初始条件十分敏感。著名的例子就是“蝴蝶效应”：当初始条件无法严格确定的时候，系统的长期演化是不可预测的。即便对于那些封闭的非线性系统，当初始条件有偏差时，这个偏差通常也会随时间以指数速度放大，导致初条件失之毫厘而结果谬以千里。

导致数值解爱因斯坦场方程成为极端难题的是非线性系统的共性与广义相对论的个性的结合。爱因斯坦场方程的解目前大多是特殊解，即给定特殊条件解出的解，不具有一般性。这个解的场描述的不是流体的密度、电磁场的强度之类的普通角色，而是时空的几何结构。在广义相对论中，不但物质与能量的发展变化是统一的，物质能量与时空的演化也是一体的。

大家看着场方程，一定会有自己的直观感觉。我的意思不是我不相信数学，是有些时候数学是一种表示宇宙的语言，但并不等于宇宙的实际情况。

就好像，我们说一个人好，单单用“好”字我们并不是很清楚，他到底怎么好了？ 而看到的他的人，会说：“他收留流浪狗，他帮助穷人……”这是具体这个人的“好”的具体表现。

宇宙也是一样的，我们单单说“宇宙爆炸”或者“宇宙膨胀”，但我们其实并不是确切知道它为何膨胀。场方程的很多解都是这样说的，但我们还是有很多疑问。

接下来看看已知的爱因斯坦场方程解。

１、先看看什么是史瓦西解：史瓦西度规，又称史瓦西几何、史瓦西解，是卡尔·史瓦西于1915年针对广义相对论的核心方程——爱因斯坦场方程——关于球状物质分布的解。此解所对应的几何，可以是球状星球以外的时空，也可以是静止不旋转、不带电荷之黑洞（称“史瓦西黑洞”）的时空几何。 任何物体被压缩成史瓦西度规将会形成黑洞。

史瓦西度规实际上是真空场方程的解析解，意思上表示其仅在引力来源物体以外的地方能够成立。也就是说对一半径R之球状体，此解仅在ｒ